¿Cómo se usan los teselados para resolver problemas científicos?

A medida que los investigadores exploraban los teselados y los definían matemáticamente, identificaban ciertos tipos que sobresalen en la resolución de problemas difíciles. Un ejemplo popular es el teselado de Voronoi (VT), también conocido como teselado de Dirichlet o polígonos de Thiessen.

Un VT es un teselado basado en un conjunto de puntos, como estrellas en una carta. Cada punto está rodeado por una celda poligonal -una forma cerrada formada por segmentos de línea- que abarca toda el área que está más cerca de su punto definitorio que de cualquier otro punto. Los límites de las células (o segmentos poligonales) son equidistantes a dos puntos; los nodos, donde se encuentran tres o más células, son equidistantes a tres o más puntos definitorios. Los VT también pueden teselar dimensiones más altas.

Este teselado de Voronoi examina la densidad de fotones de una región en particular. Cada punto en la celda representa un fotón.

El patrón de VT resultante se asemeja al tipo de panal que una abeja podría construir después de toda una noche de consumo de néctar. Sin embargo, lo que les falta de belleza a estas células, lo compensan con creces en valor.

Al igual que otros teselados, los VT aparecen repetidamente en la naturaleza. Es fácil ver por qué: Cualquier fenómeno que involucre fuentes puntuales que crecen juntas a un ritmo constante, como esporas de líquenes en una roca, producirá una estructura similar a la de un VT. Las colecciones de burbujas conectadas forman VTs tridimensionales, una similitud que los investigadores aprovechan al modelar espumas.

Los VTs también proporcionan una forma útil de visualizar y analizar patrones de datos. Los datos espaciales estrechamente agrupados se destacarán en un VT como áreas densas con células. Los astrónomos usan esta cualidad para ayudarles a identificar los cúmulos de galaxias.

Debido a que un procesador de computadora puede construir un VT sobre la marcha a partir de datos de fuentes puntuales y un conjunto de instrucciones simples, el uso de VTs ahorra memoria y potencia de procesamiento, cualidades vitales para generar gráficos computacionales de última generación o para simular sistemas complejos. Al reducir los cálculos necesarios, los VTs abren la puerta a investigaciones que de otro modo serían imposibles, como el plegado de proteínas, el modelado celular y la simulación de tejidos.

El teselado de Delaunay, un pariente cercano al VT, también tiene una variedad de usos. Para hacer un teselado Delaunay, comience con un VT, y luego dibuje líneas entre los puntos que definen las celdas de tal manera que cada nueva línea intersecte una línea compartida de dos polígonos de Voronoi. La red resultante de triángulos gordos proporciona una estructura práctica para simplificar los gráficos y el terreno.

Los matemáticos y estadísticos utilizan los teselados de Delaunay para responder a preguntas que de otro modo serían incomprensibles, como resolver una ecuación para cada punto del espacio. En lugar de intentar este cálculo infinito, calculan una solución para cada celda Delaunay.

En su discurso del 27 de enero de 1921 a la Academia Prusiana de Ciencias en Berlín, Einstein dijo: "En cuanto las leyes de las matemáticas se refieren a la realidad, no son ciertas; y en cuanto son ciertas, no se refieren a la realidad". Claramente, las aproximaciones teseladas no alcanzan la perfección. Sin embargo, permiten el progreso al reducir los problemas que de otro modo serían difíciles de manejar a una forma manejable por la potencia de computación actual. Más que eso, nos recuerdan la belleza y el orden subyacentes del cosmos.

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