Cómo deshacerse de los exponentes en una ecuación algebraica

Pocas cosas asustan al estudiante de álgebra principiante como ver exponentes -expresiones como y2, x3 o incluso el horripilante yx- aparecer en las ecuaciones. Para resolver la ecuación, necesitas de alguna manera hacer que esos exponentes desaparezcan. Pero en realidad, ese proceso no es tan difícil una vez que aprendes una serie de estrategias simples, la mayoría de las cuales están enraizadas en las operaciones aritméticas básicas que has estado usando durante años.

Simplifique y combine términos similares

A veces, si tienes suerte, puedes tener términos exponenciales en una ecuación que se anulan entre sí. Por ejemplo, considere la siguiente ecuación:

y + 2_x_2 - 5 = 2(x2 + 2)

Con un ojo agudo y un poco de práctica, puedes ver que los términos exponentes en realidad se anulan entre sí, por lo tanto:

Simplificar cuando sea posible

Una vez que simplifiques el lado derecho de la ecuación de muestra, verás que tienes términos de exponente idénticos en ambos lados del signo de igual:

y + 2_x_2 - 5 = 2_x_2 + 4

Combinar/Cancelar términos similares

Restar 2_x_2 de ambos lados de la ecuación. Debido a que realizaste la misma operación en ambos lados de la ecuación, no has alterado su valor. Pero has quitado efectivamente el exponente, dejándote con él:

y - 5 = 4

Si lo deseas, puedes terminar de resolver la ecuación de y agregando 5 a ambos lados de la ecuación, dándote:

y = 9

A menudo los problemas no son tan simples, pero aun así es una oportunidad que vale la pena buscar.

Busque oportunidades para factorizar

Con el tiempo, la práctica y muchas clases de matemáticas, usted recolectará fórmulas para factorizar ciertos tipos de polinomios. Es muy parecido a coleccionar herramientas que se guardan en una caja de herramientas hasta que se necesitan. El truco es aprender a identificar qué polinomios pueden ser fácilmente factorizados. A continuación, se presentan algunas de las fórmulas más comunes que puede utilizar, con ejemplos de cómo aplicarlas:

La diferencia de los cuadrados

Si tu ecuación contiene dos números cuadrados con un signo menos entre ellos - por ejemplo, x2 - 42 - puedes factorizarlos usando la fórmula a2 - b2 = (a + b)(a - b). Si aplica la fórmula al ejemplo, el polinomio x2 - 42 factores a (x + 4)(x - 4).

El truco aquí es aprender a reconocer números cuadrados, aunque no estén escritos como exponentes. Por ejemplo, el ejemplo de x2 - 42 es más probable que se escriba como x2 - 16.

La suma de los cubos

Si tu ecuación contiene dos números al cubo que se suman, puedes factorizarlos usando la fórmula a3 + b3 = (a + b)(a2 - ab + b2). Considere el ejemplo de y3 + 23, que es más probable que vea escrito como y3 + 8. Cuando sustituyes y y y 2 en la fórmula de a y b respectivamente, lo has hecho:

(y + 2)(y2 - 2y + 22)

Obviamente el exponente no ha desaparecido por completo, pero a veces este tipo de fórmula es un paso útil e intermedio para deshacerse de él. Por ejemplo, el factoraje en el numerador de una fracción podría crear términos que luego puede cancelar con términos del denominador.

La diferencia de los cubos

Si tu ecuación contiene dos números al cubo con uno restado del otro, puedes factorizarlos usando una fórmula muy similar a la que se muestra en el ejemplo anterior. De hecho, la ubicación del signo menos es la única diferencia entre ellos, ya que la fórmula para la diferencia de cubos es: a3 - b3 = (a - b)(a2 + ab + b2).

Considere el ejemplo de x3 - 53, que probablemente se escribiría como x3 - 125. Sustituyendo x por a y 5 por b, obtienes:

(x - 5)(x2 + 5_x_ + 52)

Como antes, aunque esto no elimina el exponente por completo, puede ser un paso intermedio útil en el camino.

Aislar y aplicar un radical

Si ninguno de los trucos anteriores funciona y tienes un solo término que contiene un exponente, puedes usar el método más común para "deshacerte" del exponente: Aislar el término del exponente en un lado de la ecuación, y luego aplicar el radical apropiado a ambos lados de la ecuación. Considere el ejemplo de z3 - 25 = 2.

Aislar el término exponente

Aislar el término del exponente agregando 25 a ambos lados de la ecuación. Esto te da:

z3 = 27

Aplique el producto radical apropiado

El índice de la raíz que se aplica -es decir, el pequeño número de superíndice antes del signo radical- debería ser el mismo que el del exponente que se está intentando eliminar. Así que debido a que el término exponente en el ejemplo es un cubo o tercera potencia, debes aplicar una raíz cúbica o tercera raíz para eliminarla. Esto te da:

3√(z3) = 3√27

Lo que a su vez simplifica el proceso:

z = 3

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